1. r(A) = 1时，求$A^n$ 🚩

$$ 若秩r(A)=1，则A可分解为一个列向量和一个行向量的乘积，有A^2=\ell A之规律，从而A^n=\ell^{n-1}A \quad (\ell：矩阵的迹) $$

线性代数-特征值与特征向量

2. 矩阵拆分二项式再展开

$$ 若秩r(A)\ne1，则拆分：A=E+B，使B形如 \begin{bmatrix}0 & x \\ 0 & 0\\ \end{bmatrix} (三角矩阵的同时，主对角线为0）则A^n=(E+B)^n=E^n+C_n^1E^{n-1}B+O\quad （B^2，B^3，\cdots =O） $$

• 例题

3. 对角矩阵

线性代数-对角矩阵

4. 相似与特征值、相似对角化

线性代数-对角化⭐️

$$ 若P ^{-1}AP=B,则P ^{-1}A^nP=B^n $$

$$ 若P ^{-1}AP=\varLambda,则P ^{-1}A^nP=\varLambda^n $$

5. 归纳法

简单试乘后如有规律可循，再用归纳法。

6. 特殊形式矩阵的n阶

$\begin{bmatrix}0 & a & b & c \\ 0 & 0 & d & e\\ 0 & 0 & 0 & f \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}^3 = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & adf \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}0 & a & b & c \\ 0 & 0 & d & e\\ 0 & 0 & 0 & f \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}^4 = 0$