$$ A是n阶矩阵，若存在一个数\lambda，非零的n维列向量\alpha，使得\\A\alpha=\lambda \alpha \\ 则称\lambda是矩阵A的一个特征值，\alpha是\lambda的一个特征向量 $$
$$ 不同特征值的特征向量线性无关 $$
$$ 实对称矩阵，\textcolor{red}{ 不同特征值的特征向量线性无关且相互垂直（正交）} $$
$$ k重特征值至多有k个线性无关的特征向量 $$
$$ 若\alpha_1，\alpha_2是A关于特征值\lambda的特征向量，那么\forall k_1\alpha_1+k_2\alpha_2 \ne 0，仍是A关于特征值\lambda 的特征向量 $$
$$ 若\alpha_1，\alpha_2是A不同特征值的特征向量，那么\alpha_1+\alpha2 不是A的特征向量 $$
$$ A\sim B，即P ^{-1}AP=B\\ 若A\alpha = \lambda \alpha (\alpha \ne 0) \Rightarrow B(P ^{-1} \alpha)=\lambda (P ^{-1} \alpha) \\说明B的特征值也是\lambda,特征向量为P ^{-1} \alpha \\ 若B\alpha=\lambda \alpha (\alpha \ne 0) \Rightarrow A(P\alpha)=\lambda(P \alpha) \\ 说明A的特征值也是\lambda,特征向量位P \alpha $$
$$ |A|= \prod_{i=1}^n \lambda_i \quad(所有特征值之积) $$
$$ 矩阵的迹\ell= \sum\limits_{i=1}^{n}a_{ii}=\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i \text{⭐️} $$
$$ 上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵的特征值就是矩阵主对角线上的元素 $$
$$ 特征值相同的矩阵不一定相似\\ 特征值相同的实对称矩阵一定相似\\ 实对称矩阵相似，特征值相同 $$
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