对角化和相似对角化有什么区别嘛。。。_数学_考研论坛（kaoyan.com）
对角化和相似对角化没有区别。一般说对角化就是相似对角化
正交对角化比相似对角化多了一个要求：坐标变换的矩阵是正交矩阵
$$ \begin{aligned} A可对角化 \Leftarrow & A是实对称矩阵\\\Leftarrow & A有n个不同的特征值\end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} A可对角化 \Leftrightarrow &A有n个线性无关的特征向量\\ &如果\lambda是k重特征值，那么\lambda必有k个线性无关的特征向量 \\ &r(\lambda_iE-A)=n-n_i,\ \lambda_i为n_i重特征值 \end{aligned} $$
$$ 若矩阵A可对角化，则A的秩等于非零特征值的个数\\ 但若矩阵A不可对角化，则不等，如 \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\\ \end{bmatrix} $$
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$$ A是n阶矩阵，存在可逆矩阵P,使得\\ P ^{-1} A P = \varLambda, 即A\sim \varLambda，则称A可相似对角化。\\ A 的特征值就是\varLambda 对角线上的元素 $$
$A=P\varLambda P ^{-1}$
$(A+xE)^n=P(\varLambda+xE)^nP ^{-1}$
$$ n阶实对称矩阵A必可对角化，且总存在正交矩阵Q，\\使得Q ^{-1} A Q = Q^TAQ=\varLambda= \left|\begin{array}{cccc} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{array}\right| $$
$A=(Q^T) ^{-1}\varLambda Q ^{-1} = (Q ^{-1}) ^{-1}\varLambda Q ^{-1}=Q\varLambda Q ^{-1}= Q\varLambda Q^T$
