$$ 如果C^TAC=B\ \ (C可逆),\ 称A与B合同 $$
实对称矩阵，相似一定合同，合同不一定相似
可逆线性变换（坐标变换） → 合同（不一定相似）
正交线性变换 → 合同且相似
$$ \begin{aligned} &二次型x^TAx经坐标变换x=Cy化为二次型y^TBy\\&\Leftrightarrow C^TAC=B, 即A，B合同 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned}&二次型(实对称)矩阵A、B合同\\&\Leftrightarrow p_A=p_B,q_A=q_B \\&\Leftrightarrow x^TAx与y^TBy有相同的规范型 \\&\Rightarrow r(A)=r(B)\end{aligned} $$
$$ 经坐标变换x=Cy的二次型矩阵是合同的\\特别的，若x=Cy是正交变换，即C是正交矩阵，则B=C^TAC=C^{-1}AC\\即经过正交变换，二次型矩阵不仅合同而且相似 $$
$$ 任一个n元二次型x^TAx，其中A是n阶实对称矩阵,必存在正交变换x=Qy(Q是正交矩阵），使得x^TAx化为标准型\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2\ \ (\lambda_i是特征值）\\ 任一n阶实对称矩阵A，总可以合同于一个对角矩阵 $$
Theorem A、B合同，若A为对称矩阵，则B也为对称矩阵
Proof $\because C^TAC=B \ \therefore B^T=(C^TAC)^T=C^TA^TC=C^TAC=B$