矩阵等价

定义：

$$ 存在可逆矩阵P,Q，使PAQ=B，则A,B等价 $$

性质：

$$ A与B等价 \\ \Leftrightarrow 存在可逆矩阵P、Q，使PAQ=B \\ \Leftrightarrow r(A)=r(B) \\ \Rightarrow |A|=k|B| $$

$$ 两个n阶可逆矩阵一定等价 $$

矩阵相似

定义：

$$ 存在可逆矩阵P，使P ^{-1} A P = B, 则A \sim B $$

性质：

• 若 $A\sim B$
  • 则 $r(A)=r(B)$
  • 则 $A+kE \sim B+kE \Rightarrow r(A+kE)=r(B+kE)$
  • 则 $A^T \sim B^T \Rightarrow r(A^T)=r(B^T)$
  • 则 $A^{-1} \sim B ^{-1} \Rightarrow r(A ^{-1})=r(B ^{-1})$ $(A,B$ 可逆 $)$
  • 则 $A^n \sim B^n \Rightarrow r(A^n)=r(B^n)$
  • 则 $A,B$ 特征值相同
  • 则 $A,B$ 特征值对应的线性无关的特征向量个数相同
  • 则 $A,B$ 的迹相同

$$ 传递性：A \sim B, B \sim C \Rightarrow A \sim C \\ 利用传递性证明A\sim B:A \sim \varLambda , B \sim \varLambda \Rightarrow A \sim B $$

$$ P ^{-1} A P = B \Rightarrow P ^{-1}A^n P=B^n $$

$$ P ^{-1} A P = \varLambda \ \Rightarrow P ^{-1}A^n P=\varLambda ^n $$

$$ 可逆矩阵A, 若A^TA\sim C,则AA^T\sim C $$

• 证明

线性代数-特征值与特征向量

若 $A,B$ 可逆，且 $A^{-1}\sim B ^{-1}$