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对任意的 $A_{m*n}$ ，有 $0 \le r(A) \le min\{m,n\}$
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$r(A)=$ $A$ 的行秩 $= A$ 的列秩 [ 为什么矩阵行秩等于列秩？ — 马同学 的回答 - 知乎 ]
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对于 转置矩阵 $A^T$
- $r(A)=r(A^T)$
- $r(A^TA)=r(A)$
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对于 $A+B$
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对于 $AB$
- $\textcolor{red}{r(AB) \le min\{r(A),r(B)\} }$
- 对于可逆矩阵A， $r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)$
- 对于任意矩阵，左乘列满秩，右乘行满秩，秩不变
- 若非方阵 $A$ 列满秩，则 $r(AB)=r(B)$
- 若非方阵 $A$ 行满秩，则 $r(BA)=r(B)$
- ⬆️ 证明： 线性代数-西尔维斯特不等式
- $r(A)+r(B)\le r(AB)+n$ （$A_{mn},B_{ns}$） [ 线性代数-西尔维斯特不等式]
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对于 $r(A)+r(B)$
- 总结上述结论可得🧠”大和小积n”：$r(A+B)\le r(A)+r(B) \le r(AB)+n$
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对于 $AB=O$
- 若 $A_{mn},B_{ns},AB=O$ ， 则 $r(A)+r(B) \le n$
- $A(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)=0,即B的所有列向量都是Ax=0的通解$
- 特别的，若 $A^2=A,$ 即 $A(A-E)=O,r(A)+r(A-E)=n$
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对于 对角分块矩阵
- $r\begin{bmatrix} A& O \\ O & B\\ \end{bmatrix} =r(A)+r(B)$
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对于 等价矩阵
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对于 相似矩阵
矩阵相似，则秩也有性质： [ 线性代数-等价、相似与合同⭐️ ]
- 若 $A\sim B$
- 则 $r(A)=r(B)$
- 则 $A+kE \sim B+kE \Rightarrow r(A+kE)=r(B+kE)$
- 则 $A^T \sim B^T \Rightarrow r(A^T)=r(B^T)$
- 则 $A^{-1} \sim B ^{-1} \Rightarrow r(A ^{-1})=r(B ^{-1})$ $(A,B$ 可逆 $)$
- 则 $A^n \sim B^n \Rightarrow r(A^n)=r(B^n)$
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对于 $r(A) = n$ 、$Ax=0$
- $\Leftrightarrow |A| \ne0$
- $\Leftrightarrow A$ 可逆
- $\Leftrightarrow Ax=0$ 只有零解
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对于$r(A) <n$ 、$Ax=0$
- $\Leftrightarrow |A|=0$
- $\Leftrightarrow A$ 不可逆
- $\Leftrightarrow Ax=0$ 有非零解
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对于矩阵的秩 与 方程$Ax=0$ 基础解系的个数
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对于 实对称矩阵$A$
- 因为 $A\sim \varLambda$，所以 $r(A)=r(\varLambda)$
- $n-r(A)$ 等于 $\lambda=0$ 的重根数
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对于 非零列向量与自身转置相乘的秩
- $r(\alpha)$ 是非零列向量，则 $r(\alpha \alpha^T)=1$