反常积分的定义

  1. 无穷区间上的反常积分

    $$ 设f(x)在[a,+\infty]上连续,称\int_{a}^{+\infty}f(x)dx=\lim\limits_{b\to +\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx为f(x)在[a,+\infty] 上的反常积分 $$

    若该极限存在,则此反常积分收敛,否则发散。

    类似的还有:

    $$ \int_{-\infty}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{ a\to{-\infty} } \int_{a}^{b}f(x)dx \\ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^{c}f(x)dx+ \int_{c}^{+\infty}f(x)dx $$

  2. 无界函数的反常积分

    $$ 设f(x)在区间[a,b)上连续,且\lim\limits_{x\to b^-}f(x)=\infty,称 \int_{a}^{b}f(x)dx= \lim\limits_{\beta\to b^-} \int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx 为f(x)在区间[a,b)上的反常积分(也称瑕积分),b为奇点(也称瑕点) $$

$$ 若a,b都是奇点,则应分成\\ \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{x_0}f(x)dx+ \int_{x_0}^{b}f(x)dx, a < x_0 <b $$

反常积分的几何意义

反常积分敛散性判别⭐️

21考研|反常积分判敛3种方法,无穷限反常积分和瑕积分统统教会你 - 郭老师的考研数学高分宝典 - 知乎专栏

考研数学史上最难的反常积分讲解

  1. 直接计算法(定义法)

    容易计算时使用,积分有具体值说明收敛。

  2. 极限审敛法⭐️

    💡总结:以1发散为界,无穷p大收敛,瑕p小收敛

    1. 极限审敛法 1(用于判别非负函数无穷限反常积分的敛散性)

      $$ 设f(x)在区间[a,+\infty)连续,且f(x)\ge 0,\\ \lim_{x\to +\infty}x^pf(x)=A \\如果存在p>1, 使得 0 \le A < +\infty,则反常积分\int_{a}^{+\infty}f(x)dx 收敛 \\如果存在p\le1,使得0 < A \le +\infty,则反常积分\int_{a}^{+\infty}f(x)dx 发散 \\ $$

    2. 极限审敛法 2(用于判别非负函数瑕积分的敛散性)

      $$ 设f(x)在区间(a,b]上连续,且f(x)\ge 0, x=a为瑕点,\\ \lim_{x\to a^+}(x-a)^pf(x)=A,\\如果存在p<1,使得0\le A < +\infty,则反常积分 \int_{a}^{b}f(x)dx 收敛 \\如果存在p\ge1,使得0 < A \le +\infty,则反常积分 \int_{a}^{b}f(x)dx 发散 $$

    3. 比较审敛法极限形式⭐️

      常用结论:

      $$ \int_{a}^{+\infty}\cfrac{1}{x^p}dx\quad \begin{cases} p > 1, 收敛\\p\le1 , 发散 \end{cases} $$

      $$ \int_{a}^{b}\cfrac{1}{(x-a)^p}dx \quad \begin{cases} p<1,收敛\\ p \ge1,发散 \end{cases} $$

      $$ \int_{a}^{+\infty}\cfrac{1}{x^p(lnx)^q}dx \quad \begin{cases} p>1,收敛\\p<1,发散\\p=1 \begin{cases} q>1,收敛\\q\le1,发散 \end{cases} \end{cases} $$

      $$ \Gamma(s)=\int_{0}^{+\infty}e^{-x}x^{s-1}dx \quad(s>0,收敛) $$

      高等数学-伽马函数积分🚩

真题练习:

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