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无穷区间上的反常积分
$$ 设f(x)在[a,+\infty]上连续，称\int_{a}^{+\infty}f(x)dx=\lim\limits_{b\to +\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx为f(x)在[a,+\infty] 上的反常积分 $$
若该极限存在，则此反常积分收敛，否则发散。
类似的还有：
$$ \int_{-\infty}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{ a\to{-\infty} } \int_{a}^{b}f(x)dx \\ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^{c}f(x)dx+ \int_{c}^{+\infty}f(x)dx $$
无界函数的反常积分
$$ 设f(x)在区间[a,b)上连续，且\lim\limits_{x\to b^-}f(x)=\infty，称 \int_{a}^{b}f(x)dx= \lim\limits_{\beta\to b^-} \int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx 为f(x)在区间[a,b)上的反常积分（也称瑕积分），b为奇点（也称瑕点） $$
$$ 若a，b都是奇点，则应分成\\ \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{x_0}f(x)dx+ \int_{x_0}^{b}f(x)dx, a < x_0 <b $$
21考研|反常积分判敛3种方法，无穷限反常积分和瑕积分统统教会你 - 郭老师的考研数学高分宝典 - 知乎专栏
直接计算法（定义法）
容易计算时使用，积分有具体值说明收敛。
极限审敛法⭐️
💡总结：以1发散为界，无穷p大收敛，瑕p小收敛
极限审敛法 1（用于判别非负函数无穷限反常积分的敛散性）
$$ 设f(x)在区间[a,+\infty)连续，且f(x)\ge 0，\\ \lim_{x\to +\infty}x^pf(x)=A \\如果存在p>1, 使得 0 \le A < +\infty,则反常积分\int_{a}^{+\infty}f(x)dx 收敛 \\如果存在p\le1,使得0 < A \le +\infty,则反常积分\int_{a}^{+\infty}f(x)dx 发散 \\ $$
极限审敛法 2（用于判别非负函数瑕积分的敛散性）
$$ 设f(x)在区间(a,b]上连续，且f(x)\ge 0, x=a为瑕点，\\ \lim_{x\to a^+}(x-a)^pf(x)=A，\\如果存在p<1,使得0\le A < +\infty,则反常积分 \int_{a}^{b}f(x)dx 收敛 \\如果存在p\ge1,使得0 < A \le +\infty,则反常积分 \int_{a}^{b}f(x)dx 发散 $$
比较审敛法极限形式⭐️
常用结论：
$$ \int_{a}^{+\infty}\cfrac{1}{x^p}dx\quad \begin{cases} p > 1, 收敛\\p\le1 , 发散 \end{cases} $$
$$ \int_{a}^{b}\cfrac{1}{(x-a)^p}dx \quad \begin{cases} p<1,收敛\\ p \ge1,发散 \end{cases} $$
$$ \int_{a}^{+\infty}\cfrac{1}{x^p(lnx)^q}dx \quad \begin{cases} p>1,收敛\\p<1,发散\\p=1 \begin{cases} q>1,收敛\\q\le1,发散 \end{cases} \end{cases} $$
$$ \Gamma(s)=\int_{0}^{+\infty}e^{-x}x^{s-1}dx \quad(s>0，收敛) $$
真题练习：
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