$$ AB=O,B\ne O \Rightarrow Ax=0有非零解，那么|A|=0,|A^{*}|=0 $$
$$ A为m*n阶矩阵，AX=b有唯一解的充分必要条件是\\r(A)=n且b可由矩阵A的列向量组线性表示 $$
$$ 线性方程组的初等行变换把线性方程组变成与它同解的方程组 $$
$$ 齐次方程组有非零解\\\Leftrightarrow r(A)<n\\ \Leftrightarrow A的列向量线性相关 \\ \Leftrightarrow |A|=0 \ \ (系数矩阵为方阵时） $$
$$ 当m<n（方程个数<未知数个数）时，齐次方程组必有非零解\\也即向量维度<向量个数 $$
$$ 齐次方程组只有零解\\ \Leftrightarrow r(A)=n \\ \Leftrightarrow A的列向量线性无关\\ \Leftrightarrow |A| \ne 0 \ \ (系数矩阵为方阵时) $$
$$ 齐次方程组的基础解系由n-r(A)个线性无关的解向量构成 $$
$$ 非齐次方程组Ax=b有解的充分必要条件是r(A)=r(\overline A)\\ 若r(A)=r(\overline A)=n,则方程组有唯一解\\ 若r(A)=r(\overline A)<n,则方程组有无穷多解 $$
$$ AX=b有解的充分必要条件是b可由矩阵A的列向量组线性表示 $$
$$ 非齐次方程组Ax=b无解\\ \Leftrightarrow r(A)+1=r(\overline A)\\ \Leftrightarrow b不能由A的列向量线性表出 $$