高等数学题集24 - 不定积分

1. 凑形式

   $"\\LARGE 缺 \\large啥 \\LARGE补 \\large啥"$ $"(1+f-f)\\ 或\\ \\frac{1}{2}\\cdot[(f+1)-(f-1)] "$

2. 凑微分法

   $$ \int \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + 2 \cos x}dx $$

   $$ 设\sin x-\cos x = a(\sin x+2\cos x)+b(\sin x+2\cos x)' \\ 凑分母形式+凑微分 $$

   如果被积函数只有sinx和cosx组成，如何凑微分？

   1. 满足 $f(-\sin x, \cos x) = -f(\sin x, \cos x),则凑d\cos x$
   2. 满足 $f(\sin x, -\cos x) = -f(\sin x, \cos x),则凑d\sin x$
   3. 满足 $f(-\sin x, -\cos x) = f(\sin x, \cos x)，则凑d\tan x$

3. 换元法

   1. 三角函数代换

      $$ \sqrt[]{a^2-x^2}=\sqrt[]{a^2-a^2\sin^2t}=a\cos t \\ \sqrt[]{a^2+x^2}=\sqrt[]{a^2 +a^2\tan^2t}=a\sec t \\ \sin x+ \cos x= \sqrt[]{2}\sin (x+\frac{\pi}{4})= \sqrt[]{2}\sin t \\ 万能代换\ \tan \frac{x}{2}=t $$

   2. 恒等变形后做三角函数代换

   3. 倒代换🚩

      当被积函数分母的幂次比分子高两次及两次以上时，做倒代换，如令：

      $$ x=\frac{1}{t} $$

   4. 负代换🚩

      负代换后可能和原式对偶。

      $$ x=-t $$

      e.g: $\int_{-\infty}^{+\infty}\cfrac{dx}{(1+e^x)(4+x^2)}=\int_{0}^{+\infty}\cfrac{dx}{(1+e^x)(4+x^2)}+ \int_{-\infty}^{0}\cfrac{dx}{(1+e^x)(4+x^2)}$

      $= \int_{0}^{+\infty}\cfrac{dx}{(1+e^x)(4+x^2)}+ \int_{0}^{+\infty}\cfrac{dt}{(1+e^{-t})(4+t^2)} = \int_{0}^{+\infty}\cfrac{dx}{4+x^2}$

   5. 根式代换🚩

      $$ 当被积函数中含有根式\sqrt[n]{ax+b}\ ,\ \sqrt[]{\frac{ax+b}{cx+d}}\ ,\ \sqrt[]{ae^{bx}+c}时，一般令\sqrt[]{*}=t $$

      $$ 对于既含有\sqrt[n]{ax+b},又含有\sqrt[m]{ax+b}的式子，\\常取m,n的最小公倍数l，令\sqrt[l]{ax+b}=t $$

   6. 复杂函数的直接代换

      $$ 当被积函数含有a^x,lnx,arcsinx,arctanx等时，可考虑令复杂函数=t $$

      $$ 当lnx,arcsinx,arctanx与P_n(x)，e^{ax}作乘除时，优先考虑分部积分 $$

4. 分部积分法

   1. 直接分部积分、多次分部积分、循环分部积分、相消分部积分

   2. u、v的选取原则：“反对幂指三”，从右往左考虑凑微分

   3. 推广公式（表格法）🚩

      ‣

      $$ \int uv^{(n+1)}dx=uv^{(n)}- u'v^{(n-1)}+\cdots+(-1)^{n}u^{(n)}v+(-1)^{n+1}\int u^{(n+1)}vdx $$

      $$ 例如不定积分：\int (x^3+2x+6)e^{2x}dx \\ \begin{array}{c|c|c|c|c} \hline x^3+2x+6 & 3x^2+2 & 6x & 6 & 0\\ \hline\\ e^{2x} & \frac{1}{2}e^{2x} & \frac{1}{4}e^{2x} & \frac{1}{8}e^{2x} & \frac{1}{16}e^{2x} \\ \\\hline \end{array} \\ 由上述表格得:I=(x^3+2x+6)(\frac{1}{2}e^{2x})-(3x^2+2)(\frac{1}{4}e^{2x})+(6x)(\frac{1}{8}e^{2x})-6(\frac{1}{16}e^{2x})+\int 0\cdot \frac{1}{16}e^{2x}dx +C $$

5. 有理函数的积分

   分母因式分解，再把该有理函数拆成若干最简有理分式之和。

   $$ Q_m(x)的k重因式(ax+b)^x产生k项：\frac{A_1}{ax+b},\frac{A_2}{(ax+b)^2},\cdots,\frac{A_k}{(ax+b)^k} $$

   $$ Q_m(x)的k重二项因式(px^2+ax+r)^k产生k项：\\ \frac{A_1x+B_1}{px^2+ax+r},\frac{A_2x+B_2}{(px^2+ax+r)^2},\cdots,\frac{A_kx+B_k}{(px^2+ax+r)^k} $$

   分子若幂次太高，尝试换元降幂次。

   求系数A和B，可以用特殊值法，等式中：「分子」f(x)=「A,B组成的式子」g(x)，令x=0、x=1、x=-1，特殊值代入求解A和B。

   当有理函数的形式是假分式（分子幂次高于分母）时，利用多项式除法构造真分式：

   $$ \cfrac{x^5+2x^3-x^2-2x+1}{x^2+x+1} $$

   • 多项式除法构造真分式： ‣

6. 组合法🚩

   高等数学-不定积分求解-组合法

7. 辅助角公式法

   高等数学-不定积分求解-辅助角公式法

视频：

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