定义

$$ AB=BA=E，则称B上A的逆矩阵，矩阵A可逆，A的逆矩阵记为A^{-1} $$

若A可逆，则A的逆矩阵是唯一的。

求逆矩阵

$(A|E) \to (E|A^{-1})$

线性代数-矩阵的初等变换

逆矩阵性质

推论

$$ 若A,B都是\textcolor{red}{n阶矩阵}，且AB=E，则BA=E且B= A^{-1} $$

性质

$$ （A^{-1})^{-1}=A $$

$$ (\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda} A^{-1} $$

$$ 若A,B为同阶方阵且可逆，则(AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1} $$

$$ 推广：(A_1A_2\cdots A_n)^{-1}=A_n ^{-1} A_{n-1} ^{-1} \cdots A_1 ^{-1} \\ (A^n) ^{-1}= (A^{-1} )^n $$

$$ 若A可逆，则A^T可逆，且(A^T) ^{-1}=(A^{-1})^T $$

$$ |A^{-1}|=\frac{1}{|A|}=|A| ^{-1} $$

2阶矩阵求逆矩阵

$$ \left[\begin{array}{cccc} a & b \\ c & d \end{array}\right]^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \left[\begin{array}{cccc} d & -b \\ -c & a \end{array}\right] $$

主对调副变号，前面还有个行列式的倒数

原理是用伴随矩阵的一个公式，ad-bc是A的行列式。