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不同于单调有界原理的过程，利用压缩映像原理证明数列收敛，不需要证明数列的单调性和有界性，一般情况下，只需要证明数列的递推函数满足下列条件：$|f'(x)|\le L<1$
设 $x_1=\sqrt[]{2},x_{n+1}=\sqrt[]{3+2x_n}\quad(n=1,2,\cdots)$，证明$\lim\limits_{n\to\infty} x_n$ 存在，并求之
设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导，$|f'(x)|\le L<1$，$f'(x_0)=0$，$f''(x_0)\ne 0$，$x_0 \in(a,b)$，其中 $x_0$ 满足 $f(x_0)=x_0$ ，试证：
$(I)$ $\forall x_1 \in[a,b],x_{n+1}=f(x_n)\quad(n=1,2,\cdots)$ 所构成的数列 $\{x_n\}$ 收敛且 $\lim\limits_{x\to\infty}x_n=x_0$
$(II)$ 当 $n\to\infty$ 时，$(x_{n+1}-x_0)$ 是 $(x_n-x_0)$ 的二阶无穷小量