|A+B|型

1. 若A+B能合并，则套上行列式后，提系数，拆行列式。

2. 将行列式化成乘积形式，如|CD|，再用公式得到|C||D|。

3. 利用E做恒等变形🌟

   $$ |A+B ^{-1}|=|EA+B ^{-1} E|=|B^{-1}BA+B ^{-1} A^{-1}A|=|B ^{-1} (B+ A^{-1}) A| = |B ^{-1}| |B+ A^{-1}| |A| $$

4. 若A，B给的是列向量形式，则A+B可以写出来

给定A与n个线性无关的向量

1. 用相似

   $$ AP=PB (P可逆)\Rightarrow P ^{-1}AP=B \Rightarrow A \sim B \\ 比如A(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)=(\alpha_2+ \alpha_3, \alpha_1+ \alpha_3, \alpha_1+3 \alpha_2+2 \alpha_3)=(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) \left[\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}\right] $$

   $$ 从而|A|=|B| $$

n阶矩阵A，给定n个矩阵不可逆或n个行列式为0，求A的行列式

1. 用特征值连乘等于行列式的值

   $$ 给定n个形如|\lambda E-A|=0的式子，得特征值\lambda，然后可得与A或者A相关的其他矩阵的行列式的值。 \\ \prod_{i=1}^n \lambda_i = |A| $$

   

AB=O 型

1. 用定理：$r(A)+r(B) \le n$

2. $B$ 的列向量是齐次方程组 $Ax=0$ 的解

   又因为 $B \ne 0$，则齐次方程组有非零解，根据克拉默法则，有 $|A|=0$

3. 反证法

4. 用特征值、特征向量

   线性代数-特征值与特征向量

   参考题目： 张宇八套卷（二） - T9