收敛数列的性质

• （极限的唯一性）如果数列 $x_n$ 收敛，那么它的极限唯一。
• （收敛数列的有界性）如果数列 $x_n$ 收敛，那么数列 $x_n$ 一定有界。
• （收敛数列的保号性）如果 $\lim\limits_{x \to + \infty} x_n = a$, 且$a>0$ ( 或 $a<0$ )，那么存在正整数N，当 $n>N$ 时，都有 $x_n>0$ ( 或 $x_n<0$ )如果$x→+\infty ,\ limx_n=a$,且 $a>0$ ( 或 $a<0$ ),那么存在正整数N，当 $n>N$ 时，都有 $x_n>0$ ( 或 $x_n<0$ )

有界与收敛

收敛 ⟹ 有界

无界数列一定发散。

有界数列未必收敛。如 $\{(-1)^n \}$ 有界，但发散。