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函数的有界性

1. 若函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界
2. 若函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上连续，$\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=A$ ，$\lim\limits_{x\to b^-}f(x)=B$ 都存在，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内有界
3. 【推论】函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 内只含第一类间断点，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界
4. 设函数 $f(x)$ 在有限开区间 $(a,b)$ 可导，且 $|f'(x)| \le M$，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内有界
5. 函数在闭区间连续，则闭区间一定有界
6. 函数在开区间连续，区间端点极限存在，则开区间一定有界
7. 函数在开区间可导，且导函数有界，则原函数一定有界

函数的单调性

1. 若 $f'(x)>0$ ，则 $f(x)$ 单调增加
2. 若 $f'(x)<0$ ，则 $f(x)$ 单调减少

函数的周期性

若 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的函数，则 $F(x)$ 周期为 $T$ $\Leftrightarrow$ $\int_{0}^{^T}f(x)dx=0$

特别地，当 $f(x)$ 是奇函数时，$F(x)$ 为周期函数

函数的凹凸性

1. 若 $f''(x)>0$，则 $f(x)$ 是凹函数
2. 若 $f''(x)<0$，则 $f(x)$ 是凸函数

凹凸性定义1：利用端点平均值定义