$$ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx $$

一维微积分难以计算，运用重积分：

$$ (\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx)^2 = \iint_{R^2} e^{-x^2}e^{-y^2}=\iint_{R^2} e^{-(x^2+y^2)}dxdy $$

直角坐标转极坐标：

$$ \int_0^{+\infty}\int_0^{2\pi}re^{-r^2}d\theta dr=\int_0^{+\infty}2\pi r e^{-r^2}dr=\pi \int_0^{+\infty}e^{-r^2}dr^2=\pi $$

所以

$$ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi} $$