不定积分存在定理
- $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续 $\longrightarrow$ $f(x)$ 在 $I$ 上有原函数
- $f(x)$ 在区间上有第一类间断点、无穷间断点 $\longrightarrow$ $f(x)$ 在 $I$ 上不存在原函数
定积分存在定理
充分条件：
- $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续 $\longrightarrow$ $F(x) = \int_{a}^{b}f(x)dx$ 存在 $\Leftrightarrow$ $f(x)$ 在 $[a,b]$ 可积
- $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上单调 $\longrightarrow$ $F(x) = \int_{a}^{b}f(x)dx$ 存在 $\Leftrightarrow$ $f(x)$ 在 $[a,b]$ 可积
- $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有界，且只有有限个间断点 $\longrightarrow$ $F(x) = \int_{a}^{b}f(x)dx$ 存在 $\Leftrightarrow$ $f(x)$ 在 $[a,b]$ 可积
必要条件：
可积函数必有界，即若定积分 $F(x) = \int_{a}^{b}f(x)dx$ 存在，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必有界