向量线性表出

$(\alpha_1, \alpha_2,\dots, \alpha_s)$

$(\beta_1, \beta_2,\dots, \beta_t)$

$$ 向量\beta可由向量组\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s线性表出，\\ \Leftrightarrow 非齐次方程组有解，系数矩阵秩等于增广矩阵的秩 \\ \textcolor{red}{ \Leftrightarrow} r(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s)=r(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s, \beta) $$

$$ (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s)线性无关，(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s, \beta) 线性相关 \\ \textcolor{red}{ \Rightarrow} 向量\beta 可由向量组\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s 线性表出，且 \textcolor{red}{表示法唯一 \\(\alpha向量组线性无关导致)} $$

$$ (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s)线性相关 \\\Leftrightarrow 存在\alpha_i 可由其他\alpha线性表出（不是任意） $$

$$ 如果多数向量能用少数向量线性表出，则说明多数向量线性相关\\（用少表多，多必相关）\\e.g. \ (\alpha_1+5\alpha_2, 3\alpha_1-11\alpha_2,7\alpha_1+9\alpha_2)一定线性相关 $$

$$ 比较两个向量组个数：如果向量组(\alpha_1, \alpha_2,\dots, \alpha_s)线性无关，\\且可由(\beta_1, \beta_2,\dots, \beta_t)线性表出，则s \le t $$

$$ 若I:(\alpha_1, \alpha_2,\dots, \alpha_s)可由II:(\beta_1, \beta_2,\dots, \beta_t)线性表出，\\则r(I)\le r(II) $$

$$ 若向量组I和II等价，则r(I)=r(II) $$

$$ 若 I 可由 II 线性表出，则r(I)\le r(II) $$

$$ 若I可由II线性表出，且r(I)=r(II)，则I和II等价 $$

$AB=C$ 向量组之间的线性表示

向量组之间的线性表出

将B作为线性变换，A C作为矩阵，则可以表示：A经过线性变换B，得到C。B是对A进行的线性变换属于列变换，所以A C的列秩相等，C的列向量组可以由A的列向量组线性表示

同理，将A作为线性变换，B C作为矩阵，则可以表示：B经过线性行变换A，得到C。B C行秩相等，C的行向量组可以由B的行向量组线性表示。