若 $\lim f(x)=A, \lim g(x)=B$ 则：

• $\lim [f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm \lim g(x)=A\pm B$
• $\lim [f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x) \cdot g(x)=A\cdot B$
• $\lim \cfrac{f(x)}{g(x)}=\cfrac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\cfrac{A}{B} \ (B\ne 0)$

推论：

1. 若 $\lim f(x)=A \ne 0$ ，则
   • $\lim f(x)g(x)=A\lim g(x)$
   • $\lim \cfrac{g(x)}{f(x)}=\cfrac{1}{A}\lim g(x)$
2. 若 $\lim \cfrac{f(x)}{g(x)}$ 存在，且 $\lim g(x)=0$ ，则 $\lim f(x)=0$
3. 若 $\lim \cfrac{f(x)}{g(x)}=A\ne0$ ，且 $\lim f(x)=0$ ，则 $\lim g(x)=0$

例题

$\lim\limits_{x\to \infty} \cfrac{(1+\cfrac{1}{x})^{x^2}}{e^x} =e^{-\frac{1}{2}}$

不满足四则运算除法中，分子分母极限都存在，所以分子不能单独用等价无穷小替换。

应该先用自然指数变形