$设y=f(x)在x_0点的 \textcolor{red}{某个邻域内有定义 }，并在x_0点有n阶导数，n\ge1，则在x_0点附近有下列展式：$
$$ f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\cdots+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n) \\ x \to x_o $$
此式称为n阶泰勒公式（皮亚诺余项形式）。
根据拉格朗日中值定理，可以得到拉格朗日余项形式的泰勒公式：
$$ f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\cdots+\frac{f^n(\xi)}{n!}(x-x_0)^n \\ x \to x_o $$
$$ e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n) \quad x\to0 $$
$$ sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+ (-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n-1}) \quad x\to0 $$
$$ cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+ (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n}) \quad x\to0 $$
$$ 可用上面三个泰勒公式验证欧拉公式：e^{ix}=cosx+isinx $$
$$ (1+x)^\alpha=1+\frac{\alpha}{1!}x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^{n}) \quad x\to0 $$
$$ \frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\cdots+(-1)^{n}x^n+o(x^n) \quad (x\to0) $$
$$ \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n \quad (x\to0) $$
（$其实就是等比数列求和：上式=\frac{1\ \cdot (1-x^{n+1})}{1-x} )$
$$ ln(1+x)=\int\frac{1}{1+x}dx=x-\frac{x^2}{2}+\cdots+(-1)^{n+1}\frac{x^{n+1}}{n+1}+o(x^{n+1}) \quad (x\to0) $$
$$ sinx=x-\frac{1}{6}x^3+... $$
$$ arcsinx=x+\frac{1}{6}x^3+... $$
$$ tanx=x+\frac{1}{3}x^3+... $$
$$ arctanx=x-\frac{1}{3}x^3+... $$
不需要硬记上述4个公式，参考： 高等数学-等价无穷小⭐ - 常用差式的等价无穷小