定义

注意代数余子式的排列顺序，是行列调换的。

$$ A^*= \begin{bmatrix}A_{11} & A_{21}\\ A_{12} & A_{22}\\ \end{bmatrix} $$

若A是实对称矩阵，则 $A_{ij}=A_{ji}$

则：$\sum\limits_{i=1}^{2}\sum\limits_{j=1}^{2}A_{ij} = \begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}A_{11} & A_{21} \\ A_{12} & A_{22}\\ \end{bmatrix} = A^*$

2阶矩阵求伴随矩阵

主对调，副变号。

性质

$$ 矩阵A可逆的充要条件是|A|\ne0,且A^{-1} =\frac{1}{|A|} A^{*} $$

$$ A A^{}= A^{} A = |A|E \quad \textcolor{red}{ 即满足交换律} $$

$$ (kA)^=k^{n-1}A^ $$

$$ |A^*|=|A|^{n-1} $$

$$ (AB)^{} =B^{}A^{*} $$

$$ (A^{})^=|A|^{n-2}A $$

• 证明

$$ (A^{}) ^{-1}=(A^{-1})^=\frac{A}{|A|} $$

$$ r(A^*) = \begin{cases} n\ ,\ r(A)=n \\ 1\ ,\ r(A)=n-1 \\ 0\ ,\ r(A)<n-1 \end{cases} $$

$$ 从上一个性质可以推出，A可逆 \Leftrightarrow A^*可逆 $$

$$ 若r(A^)<n,则r(A^)\le1 $$

$$ 若r(A)\le n-2,则A的n-1阶子式全为0，则A^*=O $$