恒有 $x^TAx>0$ 的二次型为正定二次型

正定二次型的矩阵称为正定矩阵。

定义法证明矩阵正定：

1. 先证矩阵对称
2. 再设任意的 $X\ne 0$ ，证明 $x^TAx>0$ ，从而 $x^TAx$ 是正定二次型，从而 A 是正定矩阵

矩阵正定的必要条件

• 矩阵是实对称矩阵
• $a_{ii} > 0$
• |A| > 0

矩阵正定的充分必要条件

• 定义法 $x^TAx>0$
• 特征值全大于0
• 各阶顺序主子式全大于0
• 正惯性系数为n
• 与E合同，即存在可逆矩阵C，使得$C^TAC=E$
• 存在可逆矩阵 $D$，使得 $A=D^TD$