矩阵A与B的行向量组等价的充分必要条件是齐次方程组Ax=0与Bx=0同解

证明：

必要性

因为A与B的行向量组等价

所以A可经初等行变换化为B

所以存在可逆矩阵P,使得 PA=B

易知 AX=0 的解是 PAX=0 的解.

反之,PAX=0 的解 也是 P^-1PAX=0 即 AX=0 的解

所以 AX=0 与 PAX=0 同解

即 Ax=0与Bx=0同解.

充分性

由 Ax=0与Bx=0同解

知 A,B 的行简化梯矩阵相同

即存在可逆矩阵P,Q,使得 PA=QB

所以 Q^-1PA=B

所以 A与B的行向量组等价.