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1. 洛必达法则，变限积分函数求导
2. 利用变限积分函数中被积函数的无穷小等价
3. 利用变限积分函数中积分限的无穷小等价

利用变限积分函数中被积函数的无穷小等价

$$ 定理1:若\lim_{x\to x_0} \varphi(x)=a, \lim_{t\to a} \frac{f(t)}{g(t)}=1,则\lim_{x\to x_0} \frac{\int_a^{\varphi(x)} f(t)dt}{\int_a^{\varphi(x)} g(t)dt}=1 $$

$$ 比如说，常见a=0，则上述定理等价于，上限在x\to 0时，趋向于0，\\ 同时f(x)\sim g(x)，那么\lim_{x\to 0}\int_a^{\varphi(x)} f(t)dt \sim \lim_{x\to 0}\int_a^{\varphi(x)} g(t)dt $$

$$ 例如：\int_0^x sint dt \sim \int_0^x x dt = \frac{1}{2}x^2 $$

$$ 或者，a=0，且\lim_{x\to 0} f(x)=A \ne 0,那么\int_a^{\varphi(x)} f(t)dt \sim \int_a^{\varphi(x)} Adt = A \varphi(x) $$

$$ 例如:\int_0^xcos^2t dt \sim \int_0^x1dt =x $$

利用变限积分函数中积分限的无穷小等价

$$ 定理2：当x\to 0时，无穷小\alpha(x) \sim \beta(x),且 \lim_{x\to \cdot} \cfrac{f(x)}{x^m}=c\ne0 \ \ (m \ge 0),\\ 则 \int_{0}^{\alpha}f(t)dt \sim \int_{0}^{\beta}f(t)dt
$$

$$ 例如：\int_{0}^{\sin x} t dt \sim \int_{0}^{x} t dt = \frac{1}{2}x^2 $$